Apollonios (Pergeli matematikçi)

Pergeli Apollonius (Grekçe: Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος; Latince: Apollonius Pergaeus; d. yaklaşık MÖ 240 Perge - ö. yaklaşık MÖ 190, İskenderiye), konik kesitler üzerindeki çalışmaları ile tanınan Antik Yunan geometri uzmanı ve astronom. Öklid ve Arşimet'in konuya katkılarından başlayarak, onları analitik geometrinin icadından önceki duruma getirdi. Elips, parabol ve hiperbol terimlerinin tanımları bugün kullanımda olanlardır.

Apollonius, astronomi de dahil olmak üzere çok sayıda başka konu üzerinde çalıştı. Tipik olarak diğer yazarlar tarafından atıfta bulunulan parçalar haricinde bu çalışmanın çoğu günümüze ulaşmadı. Yaygın olarak Orta Çağ'a kadar inanılan gezegenlerin görünüşte anormal hareketini açıklamak için eksantrik yörüngeler hipotezi, Rönesans sırasında yerini aldı.

Hayatı

Matematik alanına böylesine önemli katkılarda bulunan bir kişi için, yetersiz biyografik bilgi mevcuttur. 6. yüzyıl Yunan yorumcusu Ascalonlu Eutocius, Apollonius'un ana eseri olan Konikler (İngilizce: Conics) üzerine şöyle diyor:

Perge, o zamanlar Anadolu'da Helenleşmiş bir Pamphylia kentiydi. Şehrin kalıntıları halen ayaktadır. Helenistik bir kültür merkeziydi. Euergetes, "hayırsever", diadochi mirasında Mısır'ın üçüncü Yunan hanedanı olan Ptolemy III Euergetes'i tanımlar. Muhtemelen “zamanları”, MÖ 246-222/221 dönemine aittir. Zamanlar her zaman hükümdar veya yetkili yargıç tarafından kaydedilir, böylece Apollonius 246'dan önce doğmuş olsaydı, Euergetes'in babasının "zamanları" olurdu. Herakleios'un kimliği belirsizdir. Apollonius'un yaklaşık zamanları bu nedenle kesindir, ancak tam tarihler verilemez. Çeşitli bilim adamları tarafından belirtilen belirli doğum ve ölüm yılları rakamı yalnızca spekülatiftir.

Eutocius, Perge'yi Mısır'ın Ptolemaios hanedanı ile ilişkilendiriyor gibi görünmektedir. Mısır altında, MÖ 246'da Perge, Seleukos hanedanı tarafından yönetilen bağımsız bir diadochi devleti olan Seleukos İmparatorluğu'na ait değildi. MÖ 3. yüzyılın son yarısında, Perge birkaç kez el değiştirdi, alternatif olarak Seleukoslar ve kuzeyde Attalid hanedanı tarafından yönetilen Bergama Krallığı altında. "Pergeli" olarak adlandırılan birinin orada yaşamış ve çalışmış olması pekala beklenebilir. Aksine, Apollonius daha sonra Perge ile özdeşleştirilmişse, onun ikametgâhına dayanmıyordu. Kalan otobiyografik materyaller, onun İskenderiye'de yaşadığını, okuduğunu ve yazdığını ima etmektedir.

Yunan matematikçi ve astronom Hypsicles'ın bir mektubu, aslında Öklid'in Elementler kitabının, on üç kitabının bir parçası olan Öklid'in XIV. Kitabından alınan ekin bir parçasıydı.

Zamanında çok bilinmeyen, fakat 1600 yıllarında değeri anlaşılan Yunan matematikçilerinden biri Pergeli Apollonius'tur. Eski devirlerin en büyük matematikçilerinden biridir. MÖ 267 veya 262 yıllarında, Pamfiye denilen Teke sancağının Perge kentinde dünyaya gelmiştir. Mısır'ın İskenderiye kentine giderek, Öklid'ten sonra gelen matematikçilerden dersler alarak kendini yetiştirmiştir. Bir aralık Bergama'ya giderek orada kalmış, burada matematikçi Ödemus ve eski Bergama hükümdarı Atal ile ilmi ilişkilerde bulunmuştur. Matematikçi Pappus, Apollonius'un, bencil, üne düşkün, kibirli ve gururlu birisi olduğunu yazmaktadır. Apollonius'un yaptığı çalışmalar ve buluşları onun bu zayıf taraflarını örtecek kadar kuvvetlidir. Çarpmaya ait birçok buluşu vardır. Tümü geometriye ait olan yedi sekiz kitabı vardır. Koniklere ait buluşları onu şöhretin zirvesine çıkarmıştır. Birçok eserinin kaybolmasına karşın, bazı yapıtları Pappus tarafından yeniden ortaya çıkarılmıştır.

Öklid geometrisini benimseyerek onu daha ileri düzeylere götürmüştür. Teorik ve sentetik geometrici olarak, 19. yüzyıldaki Steiner'e kadar Apollonius'un bir eşine daha rastlanamaz. Konikler adı altında bugün bildiğimiz elips, çember, hiperbol ve parabol kesişimlerine ait problemlerin birçoğu Apollonius tarafından bulunmuştur. Konikler her ne kadar Apollonius'tan 150 yıl kadar önce üzerinde çalışılmışsa da, Apollonius kendisinden önceki çalışmaları ve kendi öz buluşlarını sekiz kitapta toplamıştır. Bunların çoğu onun çalışmaları ile ilerlemiştir. Yedi tane de yeni araştırması vardır. Bu araştırmaların bazıları Arapçadan çevirmedir. Yine, analitik geometri özelliklerinin hemen hemen tümünü Apollonius'a borçluyuz.

Dairesel tabanlı ve tepesinin her iki tarafından sonsuza kadar uzatılmış bir koni bir düzlemle kesilirse, düzlemle koni yüzeyinin kesişimi olan eğri, doğru, çember, hiperbol, elips veya parabol olacağını ilk kez Apollonius göstermiştir. Merminin yörünge denkleminin bir parabol olacağı yine Apollonius tarafından bulunmuştur. Ayrıca, astronomide önemli buluşları vardır.

Elips, hiperbol ve parabol, Eflatun tarafından mekanik eğriler olarak adlandırılmıştır. Bu eğriler, yalnız cetvel ve pergel yardımıyla çizilemezler. Buna karşın, pergel ve cetvel yardımıyla, bu eğrilerin istenilen sayıda noktalarını elde edebiliriz. Apollonius ve konikler üzerine çalışma yapanların diğer bir hizmeti de, Kepler ve Kopernik'in Güneş ve gezegenlerin yörüngelerini hesaplamasında kullanmasıdır. Eğer bu geometriciler olmasaydı, Newton çekim kanununu belki de hiç bulamayacaktı. Yani, Kepler'in gezegenlerin yörüngeleri hakkındaki ince ve ustalıklı kullandığı hesaplamaları, Newton'un çekim kanununa ortam hazırlamıştır. Pergel ve cetvel yardımıyla üç çembere teğet çizme, Apollonius problemi olarak bilinir. Yine, sabit iki noktaya olan uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yeri, bu sabit noktaları birleştiren doğru parçasını, verilen orana göre içten ve dıştan bölen noktalar arasındaki uzaklığı çap kabul eden bir çemberdir.

Apollonius'un zamanları

Apollonius, Helen kültürünün geniş Helenik olmayan bölgelerde çeşitli derinliklere, bazı yerlerde radikal, diğerlerinde hemen hemen hiç radikal olmayan bir şekilde üst üste binmesiyle karakterize edilen ve şimdi Hellenistik Dönem olarak adlandırılan tarihi bir dönemin sonuna doğru yaşadı. Değişiklik, Makedonyalı II. Philip ve oğlu Büyük İskender tarafından başlatıldı, o da tüm Yunanistan'ı bir dizi çarpıcı zafere maruz bırakarak Pers İmparatorluğunu fethetmeye devam etti. Mısır'dan Pakistan'a kadar bölgeleri yöneten Philip, MÖ 336'da suikasta kurban gitti. İskender, geniş Pers imparatorluğunu fethederek planını gerçekleştirmeye devam etti.

Apollonius'un kısa otobiyografisi

Materyal, Konikler kitaplarının hayatta kalan sahte “Önsözlerinde” yer almaktadır. Bunlar Apollonius'un nüfuzlu arkadaşlarına gönderilen ve mektupla birlikte verilen kitabı gözden geçirmelerini isteyen mektuplardır. Bir Eudemus'a hitap eden Birinci Kitabın Önsözü, ona Koniklerin başlangıçta İskenderiye'deki bir ev konuğu olan geometri uzmanı Naucrates tarafından talep edildiğini hatırlatır. Naucrates ziyaretin sonunda sekiz kitabın ilk taslağını elinde tuttu. Apollonius, bunlardan “tam bir arındırma olmaksızın” (Yunanca ou diakatharantes, Latince ea non perpurgaremus) olarak söz eder. Kitapları doğrulayıp düzeltmeyi, her birini tamamlandığı gibi yayınlamayı amaçladı.

Bu planı Apollonius'un daha sonraki Bergama ziyaretinde duyan Eudemus, Apollonius'un her kitabı yayınlanmadan önce kendisine göndermesinde ısrar etmişti. Koşullar, bu aşamada Apollonius'un topluluğu ve yerleşik profesyonellerin tavsiyelerini arayan genç bir geometri olduğunu gösteriyor. Pappus, İskenderiye'de Öklid öğrencilerinin yanında olduğunu belirtir. Öklid çoktan gitmişti. Bu kalma, belki de Apollonius'un eğitiminin son aşamasıydı. Eudemus, muhtemelen Pergamon'daki ilk eğitiminde kıdemli bir figürdü; Her halükarda, Bergama Kütüphanesi ve Araştırma Merkezi'nin (Müze) başkanı olduğuna veya başına geçtiğine inanmak için sebepler vardır. Apollonius, ilk dört kitabın unsurların gelişimi ile ilgilendiğini, son dördünün ise özel konularla ilgilendiğini belirtiyor.

Önsözler I ve II arasında bir boşluk vardır. Apollonius, oğlu Apollonius'u II. Eudemus'un kitabı özel çalışma gruplarında kullandığını öne sürerek daha özgüvenle konuşuyor, bu da Eudemus'un araştırma merkezinde müdür değilse de kıdemli bir önemli isim olduğunu ima ediyor. Büyük İskender ve onun kuzey kolundaki arkadaşlarının ikametgâhı nedeniyle Atina'daki Aristo Lycaeum modelini izleyen bu tür kurumlarda araştırma, kütüphane ve müzenin tamamlandığı, eğitim çabasının bir parçasıydı. Eyalette böyle tek bir okul vardı. Kralın sahip olduğu bina, tipik olarak kıskanç, coşkulu ve katılımcı olan kraliyet himayesindeydi. Krallar, değerli kitapları ellerinden geldiğince ve her yerde satın aldı, yalvardı, ödünç aldı ve çaldı. Kitaplar en yüksek değere sahipti ve yalnızca zengin müşteriler için karşılanabilirdi. Onları toplamak kraliyet yükümlülüğüydü. Bergama, parşömen endüstrisiyle biliniyordu ve "parşömen", "Pergamon" dan türemiştir.

Apollonius, Efes'te Eudemus ile tanıştığı bir geometrici olan Laodikeialı Philonides'i akla getiriyor. Philonides, Eudemus'un öğrencisi oldu. MÖ 2. yüzyılın 1. yarısında esas olarak Suriye'de yaşadı. Görüşmenin Apollonius'un Efes'te yaşadığını gösterip göstermediği ise çözülmedi. Akdeniz'in entelektüel topluluğu kültür olarak uluslararasıydı. Akademisyenler iş ararken hareket halindeydiler. Hepsi bir tür posta servisi aracılığıyla, kamuya açık veya özel olarak iletişim kurdular. Hayatta kalan mektuplar boldur. Birbirlerini ziyaret ettiler, birbirlerinin çalışmalarını okudular, birbirlerine önerilerde bulundular, öğrenciler tavsiye ettiler ve bazıları “matematiğin altın çağı” olarak adlandırılan bir gelenek biriktirdiler.

Önsöz III eksiktir. IV. Önsözde Apollonius "Eudemus'un öldüğü zaman aralığında" diyor, yine Eudemus'un Apollonius'tan daha kıdemli olduğu görüşünü destekliyor. Önsöz IV – VII daha resmidir, kişisel bilgileri çıkarır ve kitapları özetlemeye odaklanır. Bunların hepsi gizemli bir Attalus'a, Apollonius'un Attalus'a yazdığı gibi, "eserlerime sahip olma konusundaki ciddi arzunuzdan dolayı" yapılan bir seçimdir. O zamana kadar Bergama'da pek çok insan böyle bir istek duydu. Muhtemelen bu Attalus, Apollonius'un şaheserinin kopyalarını yazarın elinden yeni alan özel biriydi. Güçlü bir teoriye göre Attalus, Attalus II Philadelphus, MÖ 220-138, genel ve kardeşinin krallığının savunucusu (Eumenes II), ikincisinin MÖ 160'taki hastalığına eş-naip ve MÖ 158'de tahtının ve dul eşinin varisidir. O ve erkek kardeşi, kütüphaneyi uluslararası ihtişamla genişleten büyük sanat hamileriydi. Tarihler Philonides'inkilerle uyumluyken, Apollonius'un amacı Attalus'un kitap toplama girişimi ile de uyumludur.

Apollonius Önsöz V–VII'yı Attalus'a gönderdi. Önsöz VII'de, Kitap VIII'i "bir ek" ... "size olabildiğince çabuk göndermeye özen göstereceğim" şeklinde tanımlıyor. Gönderildiğine veya tamamlandığına dair hiçbir kayıt yoktur. Tarihte hiç olmadığı için de eksik olabilir, Apollonius tamamlanmadan ölmüştür. Ancak İskenderiyeli Pappus bunun için lemmalar sağladı, bu nedenle en azından bazı baskıları bir zamanlar dolaşımda olmalıydı.

Apollonius'un belgelenmiş eserleri

Apollonius, çok sayıda eser ortaya çıkaran üretken bir geometriciydi. Ne yazık ki bunlardan sadece biri, Konikler (İngilizce: Conics) adlı eseri hayatta kaldı. Bugünün standartlarına göre bile konu üzerine yoğun ve kapsamlı bir referans çalışmasıdır ve şu anda az bilinen geometrik önermelerin bir deposu ve Apollonius tarafından tasarlanan bazı yeni öğrenenler için bir araç olarak hizmet vermektedir. Dinleyicileri okuyamayan veya yazamayan genel nüfus değildi. Her zaman matematik bilginleri, devlet okulları ve ilgili kütüphaneleriyle bağlantılı az sayıdaki eğitimli okuyucular için tasarlandı. Başka bir deyişle, her zaman bir kütüphane referans çalışmasıydı. Temel tanımları önemli bir matematiksel miras haline gelmiştir. Çoğunlukla yöntemlerinin ve sonuçlarının yerini Analitik Geometri almıştır.

Sekiz kitabından yalnızca ilk dördü, Apollonius'un orijinal metinlerinden geldiği konusunda güvenilir bir iddiaya sahiptir. 5-7. kitaplar Arapçadan Latinceye çevrilmiştir. Orijinal Yunanca hali kaybolmuştur. Kitap VIII'in durumu ise bilinmemektedir. İlk taslak vardı ama nihai taslağın kitaba dönüşüp dönüşmediği bilinmemektedir. Edmond Halley tarafından Latince olarak "yeniden yapılanmış" bir versiyonu vardır ama ne kadarının Apollonius'a çok benzediğini bilmenin bir yolu yoktur. Halley ayrıca De Rationis Sectione ve De Spatii Sectione adlı eserleri de yeniden inşa etti. Bu eserlerin ötesinde, bir avuç bölüm dışında, herhangi bir şekilde Apollonius'tan gelme olarak yorumlanabilecek belgeler son bulmaktadır.

Kayıp eserlerinin çoğu yorumcular tarafından anlatılmakta veya bahsedilmektedir. Ek olarak, belgeler olmadan diğer yazarlar tarafından Apollonius'a atfedilen fikirler vardır. İnanılır ya da değil, onlar kulaktan dolmadır ve nakledilmiştir. Bazı yazarlar, Apollonius'u belirli fikirlerin yazarı olarak tanımlar ve dolayısıyla onun adını verir. Diğerleri, Apollonius'u modern gösterim veya deyimlerle belirsiz derecelerde sadakatle ifade etmeye çalışır.

Konikler (Conics)

Yunanca Konikler metni, tanımların, şekillerin ve parçalarının Öklid düzenlemesini kullanır yani "verilenler", ardından "kanıtlanacak" önermeler yer alır. Kitaplar I-VII, 387 önerme sunar. Bu tür bir düzenleme, geleneksel konunun herhangi bir modern geometri ders kitabında görülebilir. Herhangi bir matematik dersinde olduğu gibi, materyal çok yoğundur ve dikkate alınması zorunlu olarak yavaştır. Apollonius'un her kitap için Önsözler bölümünde kısmen açıklanan bir planı vardı. Planın başlıkları veya işaretçileri bir şekilde eksiktir, Apollonius konuların mantıksal akışına daha çok bağlıydı.

Böylece çağın yorumcuları için entelektüel bir niş yaratılır. Her biri Apollonius'u kendi zamanına göre en anlaşılır ve en alakalı şekilde sunmalıdır. Çeşitli yöntemler kullanırlar: ek açıklama, kapsamlı ön hazırlık materyali, farklı biçimler, ek çizimler, kişi eklenmesiyle yüzeysel yeniden düzenleme, vb. Yorumda ince farklılıklar vardır. Modern İngilizce konuşmacı, İngiliz akademisyenlerin Yeni Latinceyi tercih etmesinden dolayı İngilizce materyal eksikliği ile karşılaşır. Hellenistik matematik ve astronomi geleneğinin soyundan gelen Edmund Halley ve Isaac Newton gibi entelektüel İngiliz devleri, çoğu klasik dilleri bilmeyen, İngilizce konuşan topluluklar tarafından yalnızca çevirisinden okunabilir ve yorumlanabilir.

Tamamen anadili İngilizce olan sunumlar 19. yüzyılın sonlarında başlar. Heath'in Konik Kesitler Üzerine İnceleme (İngilizce: Treatise on Conic Sections özel bir notu. Kapsamlı önsöz yorumu, Yunancayı, anlamlarını ve kullanımını veren Apolloncu geometrik terimler sözlüğü gibi öğeleri içerir. "Tezin görünüşte alçak gönüllü büyük çoğunluğunun birçok kişiyi tanışma girişiminden caydırdığı" yorumunu yaparak, organizasyonu yüzeysel olarak değiştirmek ve metni modern notasyonla netleştirmek üzere başlık eklemeye söz veriyor. Dolayısıyla çalışması, parantez içinde uygunlukların verildiği iki organizasyon sistemine atıfta bulunuyor; kendisine ait ve Apollonius'a ait.

Heath'in çıkarttığı iş vazgeçilmezdir. 20. yüzyılın başlarında öğretmenlik yaptı, 1940'ta öldü, ancak bu arada başka bir bakış açısı gelişiyordu. Komşu olduğu Maryland, Annapolis'teki Birleşik Devletler Donanma Akademisi'nden önce sömürge döneminden beri askerî okul olan St. John's College (Annapolis/Santa Fe), 1936'da akreditasyonunu kaybetmiş ve iflasın eşiğindeydi. Yönetim kurulu çaresizlik içinde, Klasikler öğretimi için yeni bir teorik program geliştirdikleri Chicago Üniversitesi'nden Stringfellow Barr ve Scott Buchanan'ı çağırdı. Fırsattan yararlanarak, 1937'de St. John's'ta “yeni programı” başlattılar, daha sonra Batı medeniyetinin kültürüne katkıda bulunan seçkin önemli kişilerin eserlerini öğretecek sabit bir müfredat olan Büyük Kitaplar (Great Books) programını adlandırdılar. St. John's'ta Apollonius, analitik geometriye ek olarak değil, kendisi olarak öğretilmeye başlandı.

Apollonius'un konularının "eğitmeni", 1937'de Virginia Üniversitesi'nden yeni bir doktor olan R. Catesby Taliaferro idi. 1942'ye kadar ders verdi ve daha sonra 1948'de bir yıl boyunca İngilizce çevirileri kendisi sağlayarak Batlamyus'un Almagest ve Apollonius'un Koniklerini tercüme etti. Bu çeviriler Encyclopædia Britannica'nın Batı Dünyası'nın Büyük Kitapları serisinin bir parçası oldu. Özel konular için bir ek ile birlikte yalnızca Kitaplar I-III dahil edilmiştir. Heath'in aksine Taliaferro, Apollonius'u yüzeysel olarak bile yeniden düzenlemeye ya da onu yeniden yazmaya kalkışmadı. Modern İngilizceye çevirisi Yunancayı oldukça yakından takip eder. Modern geometrik gösterimi bir dereceye kadar kullanmıştır.

Taliaferro'nun çalışmalarıyla eşzamanlı olarak, II. Dünya Savaşı döneminden bir Oxford bağışçısı olan Ivor Thomas, Yunan matematiğine yoğun bir ilgi duyuyordu. Kraliyet Norfolk Alayında bir subay olarak askerlik hizmeti sırasında meyve veren bir seçimler özeti planladı. Savaştan sonra, Loeb Klasik Kütüphanesi'nde, Loeb serisinde alışılmış olduğu gibi, sayfanın bir tarafında Yunanca ve diğer tarafında İngilizce ile Thomas tarafından çevrilmiş iki ciltlik bir yer buldu. Thomas'ın çalışması, Yunan matematiğinin altın çağı için bir el kitabı görevi gördü. Bu çalışma, Apollonius için yalnızca Kitap I'in bölümleri tanımlayan kısımlarını içerir.

Heath, Taliaferro ve Thomas, 20. yüzyılın büyük bölümünde halkın Apollonius'a olan talebini karşıladı. Ancak konu devam etmektedir. Daha yeni çeviriler ve araştırmalar, eski bilgileri incelemenin yanı sıra yeni bilgi ve bakış açılarını da içermektedir.

Kitap I

Kitap I, 58 önerme sunmaktadır. En dikkat çekici içeriği, koniler ve konik kesitler ile ilgili tüm temel tanımlardır. Bu tanımlar aynı kelimelerin modern tanımlarıyla tamamen aynı değildir. Etimolojik olarak modern sözcükler eskiden türetilmiştir, ancak sözcük kökü, anlam açısından refleksinden sıklıkla farklıdır.

Konik bir yüzey, bir açıortay noktası etrafında döndürülen bir çizgi parçası tarafından üretilir, öyle ki uç noktalar, her biri kendi düzleminde daireler çizer. Çift konik yüzeyin bir dalı olan bir koni, nokta (apeks veya verteks), daire (taban) ve tepe ile tabanın merkezini birleştiren bir çizgi olan eksen ile oluşan yüzeydir.

Bir "kesit" (Latince sectio, Yunanca tome), bir koninin bir düzlem tarafından hayali bir "dilimi"dir.

• Önerme I.3: "Bir koni, tepe noktasından bir düzlem tarafından kesilirse, bölüm bir üçgendir." Bir çift koni durumunda, bölüm, tepe noktasındaki açılar dikey açılar olacak şekilde iki üçgendir.
• Önerme I.4, bir koninin tabana paralel bölümlerinin eksen üzerinde merkezleri olan daireler olduğunu ileri sürer.* Önerme I.13, tabanın düzlemine eğimli bir düzlem tarafından tek bir koninin kesilmesi ve ikincisiyle koninin dışına uzanan tabanın çapına dik bir çizgide kesişmesi olarak tasarlanan elipsi tanımlar (gösterilmemiştir). Eğik düzlemin açısı sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde bölüm bir daire olacaktır. Şeklin bir parabol haline geldiği eksenel üçgenin karşılık gelen taban açısından da daha küçük olmalıdır.
• Önerme I.11 bir parabolü tanımlar. Düzlemi, eksenel üçgenin konik yüzeyinde bir kenara paraleldir.
• Önerme I.12 bir hiperbolu tanımlar. Düzlemi eksene paraleldir. Çiftin her iki konisini de keserek iki farklı dal elde eder (yalnızca bir tanesi gösterilmiştir).

Yunan geometriciler, Arşimet gibi büyük mucitlerin yapmaya alıştıkları gibi, mühendislik ve mimarinin çeşitli uygulamalarında envanterlerinden seçilmiş şekilleri düzenlemekle ilgilendiler. Konik kesitler için bir talep vardı ve halen vardır. Matematiksel karakterizasyonun gelişimi, geometriyi, bu tür cebirsel temelleri, değişkenler olarak çizgi parçalarına değer atamak gibi görsel olarak öne çıkaran Yunan geometrik cebirine doğru kaydırmıştı. Bir ölçüm kılavuzu ile Kartezyen koordinat sistemi arasında bir koordinat sistemi kullandılar. Oran teorileri ve alanların uygulanması, görsel denklemlerin geliştirilmesine izin verdi. (Aşağıda Apollonius'un Yöntemleri bölümüne bakın).

"Alanların uygulanması", bir alan ve bir çizgi parçası verildiğinde dolaylı olarak bu alanın geçerli olup olmadığını sorar; yani, parçadaki kareye eşit mi? Evet ise, bir uygulanabilirlik (parabol) oluşturulmuştur. Apollonius Öklid'i takip ederek kesitin herhangi bir noktasının apsisindeki dikdörtgenin koordinatın karesine uygulanıp uygulanmadığını sordu. Eğer öyleyse, kelime denklemi, bir parabolün modern denklemlerinden biri olan ${\textstyle y^{2}{=}kx}$'e eşdeğerdir. Dikdörtgenin kenarları ${\displaystyle k}$ ve ${\displaystyle x}$'tir. Buna göre şekle, parabol, "uygulama" adını veren oydu.

"Uygulanabilirlik yok" durumu ayrıca iki olasılığa bölünmüştür. Bir işlev verildiğinde, ${\textstyle f(x)}$, uygulanabilirlik durumunda ${\textstyle y^{2}{=}g(x)}$, uygulanabilirlik olmadığı durumda ${\textstyle y^{2}>g(x)}$ veya ${\textstyle y^{2}<g(x)}$. Birincisinde, ${\textstyle g(x)}$, "eksiklik (deficit)" olarak adlandırılan bir miktar nedeniyle ${\textstyle y^{2}}$ altında kalıyor. İkincisinde ise, ${\textstyle g(x)}$, "fazlalık (surfeit)" olarak adlandırılan bir miktar tarafından aşılır.

Uygulanabilirlik, eksiklik, ${\textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}$ eklenerek veya ${\textstyle g(x)-s}$ fazlalık çıkarılarak sağlanabilir. Bir açığı kapatan şekil elips olarak; bir fazlalık ise hiperbol olarak adlandırıldı. Modern denklemin terimleri şeklin orijinden ötelenmesi ve döndürülmesine bağlıdır, ancak bir elips için genel denklem;

Ax² + By² = C

aşağıdaki biçime dönüştürülebilir;

${\displaystyle y^{2}{=}\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

burada, denklem bir hiperbol içinse C/B, d'dir. (deficit=eksik miktar)

Ax² - By² = C

olur,